EXERCÍCIOS RESOLVIDOS - ANÁLISE COMBINATÓRIA
A Análise Combinatória é um dos conteúdos que sempre caem nos concursos públicos, Enem, OBMEP, nada melhor do que unir o útil ao agradável, e aprender de uma vez por todas a desenvolver exercícios relacionados a esta matéria.
ANAGRAMAS:
Na primeira postagem da série dei um exemplo de exercício com anagramas, resolvendo de duas maneiras distintas. Hoje vamos trabalhar passo a passo com mais dois exemplos semelhantes para fixar bem este conteúdo.
Exercícios resolvidos:
1) Quantos anagramas da palavra “Facebook” começam por consoante?
- Primeiro temos que analisar as características do exercício.
Existem duas restrições [ condições ] para fazermos este exercício.
Primeira:
- Veja que temos 4 consoantes { F,C,B,K} , e 4 vogais {A,E,O,O} , totalizando 8 letras.
Segunda:
- A vogal “o” repete duas vezes. “Facebook’’
Vamos ver como ficaria a disposição das consoantes e do restante das letras. Para visualizar melhor veja a tabela abaixo:
1
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2
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3
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4
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5
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6
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7
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8
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Consoantes
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1
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2
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3
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4
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5
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6
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7
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4
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PERMUTAÇÃO DAS OUTRAS LETRAS
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Analisando a tabela concluímos que existem quatro possibilidades para permutarmos as consoantes na primeira posição, restando assim sete posições para as letras restantes, ou seja, 7!. Logo temos 4.7!
Como temos uma letra repetida [a vogal “o”] vamos usar a fórmula para permutações com repetição. Pn(a) = n!/a!, com a=2 e n =4.7! Montando a fórmula temos:
4.7!/2! = 2.(7.6.5.4.3.2) = 10080 anagramas da palavra Facebook que começam por consoante.
2) Quantos anagramas existem na palavra “BBB11”?
Vamos seguir os mesmos passos feitos no exemplo anterior:
- Primeiro temos que analisar as características do exercício.
Existe apenas uma restrição [ condição ] para fazermos este exercício.
Primeira:
Temos 3 consoantes { B,B,B} e dois números {1,1} . Como estes elementos se repetem então usaremos a fórmula de permutações com repetição.
- A consoante B repete 3 vezes logo a=3 e o número 1 repete duas vezes logo b = 2 , assim como existem cinco caracteres na palavra BBB1, temos que:
Pn(a,b)= 5!/3!.2!=5.4.3!/3!.2! =20/2=10 anagramas possíveis com a palavra BBB11.
Mas e se fosse BBB12 professor? - Perguntou o Joãozinho, lá do fundo da sala - . É simples Joãozinho! - Comenta o professor - Como não temos a repetição dos números, fazemos assim, 5!/3! , onde n=5 e a = 3 . - Entusiasmado com a explicação do professor, jãozinho pula da cadeira e grita - KI LEGAL "PROF."! .
Não esqueça! "Dividir para conquistar". Se você lembrar desta pequena frase e aplicá-la quando for resolver os exercícios, vai facilitar bastante os desenvolvimentos. Faça seus exercícios em partes, crie uma estratégia, rabisque, faça desenhos. Tudo isso ajuda a compreender melhor o que "pede" cada tipo de problema.
Por enquanto ficamos por aqui. Em breve mais atualizações, aguarde!
Se você quer cooperar com dicas, indicar algum blog legal de matemática, programas legais que conhece, artigos, trabalhos de escola. Fique a vontade. Mande um e-mail para mauromatematicando@gmail.com ,ou comente aqui mesmo. Por enquanto ficamos por aqui! Agradeço antecipadamente, comentários, dicas, criticas e sugestões.
REFERÊNCIAS:
J. Plínio O. Santos – Margarida P. Mello – Idani T C. Murari : Introdução à análise combinatória. Editora Unicamp – 3º edição – Campinas S.P. 2002.
ISBN: 85-268-0592-4
Dante, Luiz Roberto. Matemática, Volume único / Luiz Roberto Dante. 1º Edição SP: Ática. 2005. ISBN 978-85-08-09801-9
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